Showing posts with label Matlan 2. Show all posts
Showing posts with label Matlan 2. Show all posts

Metode Regula falsi ( False Position )

1
in

a = X0
b = X1
m = X2


Metode regula falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier. Berikut langkah penyelesaiannya :

  1. Tentukan interval [X0, X1] yang memuat akar
  2. Tentukan titik X2 dengan menarik garis lurus dari titik [X0, F(X0)] ke titik [X1, F(X1)] titik X2 adalah titik potong garis dengan sumbu X.

    X2 = X0 * F(X1) - X1 * F(X0) / F(X1) - F(X0)

    X2 = X1 - [ (X1 -X0) / F(X1) - F(X0) ] * F(X1)
                                        [P]
    X2 = X1 - P * F(X1)
  3. Bila =
    • F(X0) * F(X2) < 0 Maka akar pada [X0, X2] , X2 = X1
    • F(X0) * F(X2) = 0 akar = X2
    • F(X0) * F(X2) > 0 Maka akar pada [X2, X1], X2 = X0
  4. Pengulangan / iterasi mencari X2 dan interval baru dilakukan berdasarkan nilai toleransi | (X2 - X)1 / X1 | atau | (X2 - X0) / X0 |
  5. Kelemahan :
    Hanya salah satu ujung titik interval ( X0 atau X1 ) yang bergerak menuju akar dan yang lain selalu tetap untuk setiap iterasi [ nilai bersifat mutlak ]
Cari akar  f(x)= x³ - 2x² +2x - 5 = 0 , T =10-² = 0,01 , iterasi max 8 , dengan regulafalsi

F(1) = 1 - 2 + 2 - 5 = -4
F(2) = 2³ - 2.2² + 2.2 -5
        = 8 - 8 + 4 - 5 = -1       --
F(3) = 3³ - 2.3² + 2.3 - 5        |  >> F(2) = X0 dan F(3) = X1 ( Di pilih karena paling mendekati 0 )
        = 27 - 18 + 6 - 5 = 10  --

Iterasi ke 1

F(2.091) = - 0.420

T = | (2.091 - 2) / 2 |
   = 0.045

F(X0) * F(X2) = - * - = +


  X2 = 3 - [ (3-2) * (10) / 10 - (-1) ]
        = 3 - ( 10/11 )
        = 2.091

Iterasi ke 2

F(2.128) = - 0.165


T = | (2.128 - 2.091) / 2.091 |
   = 0.018

F(X0) * F(X2) = - * - = +



  X2 = 3 - [ (3-2.091) * (10) / 10 - (-0.420) ]
        = 3 - ( 9.09/10.42 )
        = 2.128

Iterasi ke 3

F(2.142) = - 0.064


T = | (2.142 - 2.128) / 2.128 |
   = 0.006 > sudah mendekati 0.01

F(X0) * F(X2) = - * - = +



  X2 = 3 - [ (3-2.128) * (10) / 10 - (-0.165) ]
        = 3 - ( 8.72/10.165 )
        = 2.142


Tabel Regula Falsi
Iterasi
X0
X1
X2
X1 – x0
F(X0)*F(X2)
1
2
3
2.091
0.045
+
2
2.091
3
2.128
0.018
+
3
2.128
3
2.142
0.006
+

Kesimulan : akar X2 = 2.142 ditemukan pada iterasi ke 3

Biseksi                                                          Regula falsi
X2 = 2.152 , F(2.152) = 0.008                     X2 = 2.142 , F(2.142) = 0.006
Iterasi ke = 8                                                 Iterasu ke = 3

Metode yang lebih cepat adalah "Regulafalsi"
Metode yang lebih akurat adalah "Regulafalsi"

Read more

Metode Biseksi

4
in


a = X0
b = X1
c = X2

Dasar Teori :
Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

  1. Pilih X0 dan X1 sehingga F(X0) . F(X1) < 0
  2. Cari taksiran akar X2 = ( X0 + X1 ) / 2
  3. Evaluasi, bila
    a. F(X0) . F(X2) < 0 akar pada [ X0, X2] X2 <--- X1
    b. F(X0) . F(X2) = 0 maka akar = X2
    c. F(X0) . F(X2) > 0 akar pada [ X2, X1] X2 <--- X0
  4. |Ea| = | X2 baru - X2 lama / X2 baru | x 100%
Proses berhenti bila ∑a < ∑s
Setelah dilakukan n kali iterasi biseksi mk diperoleh interval yang lebarnya (X1-X0) / 2 n
bila diingkan toleransi kesalah lebih kecil dari t mk jumlah iterasi pada biseksi
n > 2log (X1 - X0 ) / t
n = jumlah iterasi
Contoh 
Cari akar  f(x)= x³ - 2x² +2x - 5 = 0 , T =10-² = 0,01
F(1) = 1 - 2 + 2 - 5 = -4
F(2) = 2³ - 2.2² + 2.2 -5
        = 8 - 8 + 4 - 5 = -1       --
F(3) = 3³ - 2.3² + 2.3 - 5        |  >> F(2) = X0 dan F(3) = X1 ( Di pilih karena paling mendekati 0 )
        = 27 - 18 + 6 - 5 = 10  --

Iterasi ke 1



 X2 = 2 + 3 / 2 
       = 2,5

X1 - X0 = 3 - 2 
              = 1



F(2,5) = 2.5³ - 2*2.5² + 2*2.5 -5
           = 15.625 - 12,5 + 0 
               = 3,125
F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 2

X2 = 2 + 2.5 / 2 
      = 2.25

X1 - X0 = 2.5 - 2 
              = 0.5



F(2.25) = 2.25³ - 2*2.25² + 2*2.25 -5
             = 11.391 - 10.125 - 5
             = 0.766

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 3

X2 = 2 + 2.25 / 2 
      = 0.25

X1 - X0 = 2.25 - 2
              = 0.25

 
F(2.125) = 2.125³ - 2*2.125² + 2*2.125 -5
               = 9.596 - 9.031 - 0.75
               = - 0.185
F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 4

X2 = 2.125 + 2.25 / 2 
      = 2.187

X1 - X0 = 2.25 - 2.125
              = 0.125


F(2.187) = 2.187³ - 2*2.187² + 2*2.187 -5
               = 10.460 - 9.565 - 0.626
               = - 0.269
F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 5

X2 = 2.125 + 2.187 / 2 
      = 2.156

X1 - X0 = 2.187 - 2.125
              = 0.062



F(2.156) = 2.156³ - 2*2.156² + 2*2.156 -5
               = 10.022 - 9.297 - 0.688
               = - 0.037
F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 6

X2 = 2.125 + 2.156 / 2 
      = 2.140

X1 - X0 = 2.156 - 2.125
              = 0.031



F(2.140) = 2.140³ - 2*2.140² + 2*2.140 -5
               = 9.800 - 9.159 - 0.72
               = - 0.079
F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 7

X2 = 2.140 + 2.156 / 2 
      = 2.148

X1 - X0 = 2.156 - 2.140
              = 0.016



F(2.148) = 2.148³ - 2*2.148² + 2*2.148 -5
               = 9.911 - 9.228 - 0.704
               = - 0.021
F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 8

X2 = 2.148 + 2.156 / 2 
      = 2.152

X1 - X0 = 2.156 - 2.148
              = 0.008 > Sudah mendekati 0.01



F(2.152) = 2.152³ - 2*2.152² + 2*2.152 -5
               = 9.966 - 9.262 - 0.696
               = - 0.008
F(X0)*F(X2) = - * + = -

Tabel Biseksi

Iterasi
X0
X1
X2
X1 – x0
F(X0)*F(X2)
1
2
3
2.5
1
-
2
2
2.5
2.25
0.5
-
3
2
2.25
2.125
0.25
+
4
2.125
2.25
2.187
0.125
-
5
2.125
2.187
2.156
0.062
-
6
2.125
2.156
2.140
0.031
+
7
2.140
2.156
2.156
0.016
+
8
2.148
2.156
2.152
0.008
-
Kesimpulan : akar X2 = 2.152 di temukan pada iterasi ke 8

Read more

Akar Persamaan non Linier

0
in

Pendahuluan
Apabila diketahui fungsi y=f(x), kita hendak mencari suatu nilai x=p, sedemikian sehingga f(p)=0. secara analitik berarti mencari absis titik potong grafik fungsi tersebut dengan sumbu x.


pencarian berualng-ulang terhadap akar. sebenernya, prinsip ini sama dengan metode bisesksi. disini kita melakukan pembagian interval bukan menjadi 2 subinterval seperti pada metode biseksi, tetapi pembagian menjadi sekaligus banyak sub interval.


contoh kita mencari akar dari f(x)=2x³ - 5x² - 7 misalkan kita ambil interval |-10, 10|, yang kita bagi menjadi 10 subinterval, dan kita cari nilai fungsi pada ujung2 subinterval tersebut, yakni pada x=10, -8....8,10




Read more

 
Design by ThemeShift | Bloggerized by Lasantha - Free Blogger Templates | Best Web Hosting