Metode Biseksi

in Matlan 2

a = X0

b = X1

c = X2

Dasar Teori :

Ide awal metode ini adalah metode table, dimana area dibagi menjadi N bagian.Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang.Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

1. Pilih X0 dan X1 sehingga F(X0) . F(X1) < 0
2. Cari taksiran akar X2 = ( X0 + X1 ) / 2
3. Evaluasi, bila
   a. F(X0) . F(X2) < 0 akar pada [ X0, X2] X2 <--- X1
   b. F(X0) . F(X2) = 0 maka akar = X2
   c. F(X0) . F(X2) > 0 akar pada [ X2, X1] X2 <--- X0
4. |Ea| = | X2 baru - X2 lama / X2 baru | x 100%

Proses berhenti bila ∑a < ∑s

Setelah dilakukan n kali iterasi biseksi mk diperoleh interval yang lebarnya (X1-X0) / 2 n

bila diingkan toleransi kesalah lebih kecil dari t mk jumlah iterasi pada biseksi

n > 2log (X1 - X0 ) / t

n = jumlah iterasi

Contoh 

Cari akar  f(x)= x³ - 2x² +2x - 5 = 0 , T =10-² = 0,01

F(1) = 1 - 2 + 2 - 5 = -4

F(2) = 2³ - 2.2² + 2.2 -5

        = 8 - 8 + 4 - 5 = -1       --

F(3) = 3³ - 2.3² + 2.3 - 5        |  >> F(2) = X0 dan F(3) = X1 ( Di pilih karena paling mendekati 0 )

        = 27 - 18 + 6 - 5 = 10  --

Iterasi ke 1

 X2 = 2 + 3 / 2 

       = 2,5

X1 - X0 = 3 - 2 

              = 1

F(2,5) = 2.5³ - 2*2.5² + 2*2.5 -5

           = 15.625 - 12,5 + 0 

               = 3,125

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 2

X2 = 2 + 2.5 / 2 

      = 2.25

X1 - X0 = 2.5 - 2 

              = 0.5

F(2.25) = 2.25³ - 2*2.25² + 2*2.25 -5

             = 11.391 - 10.125 - 5

             = 0.766

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 3

X2 = 2 + 2.25 / 2 

      = 0.25

X1 - X0 = 2.25 - 2

              = 0.25

 
F(2.125) = 2.125³ - 2*2.125² + 2*2.125 -5

               = 9.596 - 9.031 - 0.75

               = - 0.185

F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 4

X2 = 2.125 + 2.25 / 2 

      = 2.187

X1 - X0 = 2.25 - 2.125

              = 0.125

F(2.187) = 2.187³ - 2*2.187² + 2*2.187 -5

               = 10.460 - 9.565 - 0.626

               = - 0.269

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 5

X2 = 2.125 + 2.187 / 2 

      = 2.156

X1 - X0 = 2.187 - 2.125

              = 0.062

F(2.156) = 2.156³ - 2*2.156² + 2*2.156 -5

               = 10.022 - 9.297 - 0.688

               = - 0.037

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Iterasi ke 6

X2 = 2.125 + 2.156 / 2 

      = 2.140

X1 - X0 = 2.156 - 2.125

              = 0.031

F(2.140) = 2.140³ - 2*2.140² + 2*2.140 -5

               = 9.800 - 9.159 - 0.72

               = - 0.079

F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 7

X2 = 2.140 + 2.156 / 2 

      = 2.148

X1 - X0 = 2.156 - 2.140

              = 0.016

F(2.148) = 2.148³ - 2*2.148² + 2*2.148 -5

               = 9.911 - 9.228 - 0.704

               = - 0.021

F(X0)*F(X2) = - * - = +

Iterasi ke 8

X2 = 2.148 + 2.156 / 2 

      = 2.152

X1 - X0 = 2.156 - 2.148

              = 0.008 > Sudah mendekati 0.01

F(2.152) = 2.152³ - 2*2.152² + 2*2.152 -5

               = 9.966 - 9.262 - 0.696

               = - 0.008

F(X0)*F(X2) = - * + = -

Tabel Biseksi

Iterasi	X0	X1	X2	X1 – x0	F(X0)*F(X2)
1	2	3	2.5	1	-
2	2	2.5	2.25	0.5	-
3	2	2.25	2.125	0.25	+
4	2.125	2.25	2.187	0.125	-
5	2.125	2.187	2.156	0.062	-
6	2.125	2.156	2.140	0.031	+
7	2.140	2.156	2.156	0.016	+
8	2.148	2.156	2.152	0.008	-

Kesimpulan : akar X2 = 2.152 di temukan pada iterasi ke 8